Définition
Définition d'une suite régularisante :
- soit \((\rho_n)_n\) une suite de fonctions
- les fonctions sont dans \(\mathcal C_c^\infty({\Bbb R}^N)\)
- les fonctions sont à valeurs positives
- les fonctions sont à support compacts inclus dans \(\overline B(0,\frac1n)\)
- \(\displaystyle\int\rho_n=1\)
$$\Huge\iff$$
- on dit que \((\rho_n)_n\) est une suite régularisante
(//
Espace des fonctions test)
Propriétés
Limite
Proposition :
Si \((\rho_n)_n\) est une suite régularisante, alors on a : $${{\rho_n\overset{\mathscr D^\prime}{\underset{n\to+\infty}\longrightarrow}\delta_0}} }}$$
(
Delta de Dirac)
Distributivité dans une intégrale
On a : $${{\int\rho_n f-\alpha}}={{\int\rho_n(f-\alpha)}}\quad\text{ car }\;{{\int\rho_n=1}}$$
Exemple
Exemple utile de suite régularisante : $$\theta(x)={{\begin{cases}\exp\left(\cfrac{-1}{1-x^2}\right)&\text{si}\quad x\in[-1,1]\\ 0&\text{sinon.}&\end{cases}}}$$
On a \(\theta(0)=e^{-1}\) et \(\theta^{(k)}(0)=0\) \(\forall k\geqslant1\), ce qui signifie que \((\theta(x)e^{x})^{(k)}=e^{-1}\) \(\forall k\geqslant1\) (ça reste constant)
